Кости были одним из первых игровых гаджетов. В этой статье я буду обсуждать только стандартные современные кости. Этот тип игральных костей, естественно, представляет собой куб, и каждая сторона имеет определенное количество очков, количество которых равно 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Сумма очков на противоположных сторонах равна 7, поэтому 6 граней игральной кости можно разделить на три пары, а именно 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4. Есть ровно две конфигурации лицевой стороны игральной кости, обладающие этим свойством, и они являются зеркальными отражениями друг друга. В настоящее время почти все игральные кости, изготовленные на Западе, имеют три грани с числами 1, 2 и 3, расположенные по часовой стрелке вокруг их общей вершины. Мне сказали, что в Японии кости с таким броском используются во всех играх, кроме маджонга. Маджонг — это игра, в которой используются зеркальные кости, и с этого момента, если не указано иное, я буду использовать кости в западном стиле.
Кости часто бросают парами, чтобы получить желаемую сумму. Сначала предположим, что кости «честные», так что вероятность того, что каждая сторона выпадет, равна 1/6. Чтобы рассчитать вероятность определенного общего количества очков, мы должны выяснить, сколько ситуаций может привести к этому общему количеству очков. Затем мы делим это число на 36, общее количество пар костей (обратите внимание, что две кости должны быть различны).
Понять проблему помогает представление о том, что одна кость красная, а другая синяя. Таким образом, например, общее число 12 может иметь только один случай, то есть на красных костях выпадает 6 очков, а на синих кубиках тоже 6 очков. Таким образом, вероятность того, что их будет 12, равна 1/36. Кроме того, всего 11 может быть получено в двух случаях, то есть на красном кубике выпадает 6, на синем кубике выпадает 5 или на красном кубике выпадает 5 и на синем кубике выпадает 6. Вероятность того, что общее количество очков равно 11, составляет 2/36 или 1/18.
Великий математик и философ Готфрид Лейбниц считал, что шансы выпадения 11 и 12 должны быть одинаковыми, потому что, по его мнению, есть только один случай, когда выпадает 11, то есть если на кости выпало 6, а другие кости бросают 5. Есть несколько проблем с этой теорией. Возможно, самая заметная проблема заключается в том, что это полностью противоречит экспериментальным результатам. Экспериментальные результаты показывают, что вероятность выпадения числа 11 в два раза выше, чем число числа 12. Другая проблема заключается в том, что теория привела бы к ненадежному заключению о том, что вероятность того, что на двух костях выпадет определенная сумма — независимо от того, какая — меньше 1.
В одной игре, в крэпс, интуитивное ощущение этих вероятностей играет ключевую роль. Азартные игры в кости зародились в 1840-х годах. В этом виде азартных игр игрок (сторона, бросающая кости) делает ставку на сумму денег. Другие игроки «исчезают», то есть делают ставку на сумму денег по своему выбору. Если сумма последующих денег меньше первоначальной ставки стрелка, он уменьшает ставку до этой суммы. Затем бросающий начинает бросать пару костей. Если при первом броске костей выпало 7 или 11 (называемое «естественным»), он немедленно выигрывает. Если при первом броске костей выпало 2, 3 или 12 («дерьмо»), он проигрывает. В других случаях общее количество очков, которое стрелок выбрасывает при первом броске, то есть 4, 5, 6, 8, 9 или 10, является их «счетом». В этот момент он должен продолжать кидать, пытаясь снова бросить, чтобы получить очки, а затем 7 («вырубается»). Если он может выбросить этот исход, он выигрывает все ставки, в противном случае он все проигрывает.
Согласно упомянутым выше вероятностям и правилам этой игры можно рассчитать, что шансы на победу бросающего составляют 244/495, или около 49,3%. Это чуть меньше, чем равные шансы на победу или проигрыш (50%). Профессиональные игроки могут превратить этот крошечный недостаток в преимущество двумя способами. Один из способов — принимать или отклонять различные «побочные ставки» (т. е. ставки сверх обычной ставки) с другими игроками. Другой метод состоит в том, чтобы обмануть и хитро использовать обманные кости в азартных играх.
Есть много способов играть в кости. Стороны игральных костей можно тонко обрезать, чтобы их углы не были под прямым углом, а для «ведения» костей можно использовать тяжелые предметы. Оба этих метода могут заставить кости выбросить одни числа с большей вероятностью, чем другие. Более драматический трюк состоит в том, чтобы использовать «верх» и «низ» вместо стандартных кубиков. Две кости имеют только 3 разных очка на каждой стороне (одинаковое количество очков на каждой стороне). Поскольку любой игрок может одновременно видеть не более 3 граней кости, а все смежные грани имеют разное значение, на первый взгляд кажется, что в этом нет ничего необычного. Однако невозможно гарантировать, что грани находятся в стандартном порядке во всех вершинах. В самом деле, если три грани с точками 1, 3 и 5 расположены против часовой стрелки в некоторой вершине, то эти три грани должны быть расположены по часовой стрелке в соседней вершине.
В крэпсе верхняя и нижняя кости используются для различных целей. Например, с парой кубиков 1-3-5 никогда не может быть выброшено 7, поэтому игрок никогда не сможет обгадить такие кубики. Если вы объедините кубики 1-3-5 с кубиками 2-4-6, вы не сможете получить четное общее количество очков, поэтому игрок не может выбросить 4, 6, 8 или 10 из этих общих очков. Если эти уловки останутся незамеченными, верхние кости не следует использовать слишком часто — поскольку всегда выбрасывается четная сумма, даже самый неопытный игрок будет подозрительным.
Во многих трюках или трюках, разыгрываемых на вечеринках, используются кости. Многие из этих трюков используют правило, согласно которому сумма очков на противоположных сторонах костей равна 7. Мартин Гарнер представил трюк в своей книге «Математическая магия». Фокусник повернулся и попросил зрителя бросить три стандартных кубика, а затем сложить очки на гранях, обращенных вверх. Затем фокусник просит обманутого человека взять любой из кубиков и добавить число на нижней стороне к предыдущей сумме. Наконец, зритель снова бросает кубик, прибавляя очки с большей стороны ко второй сумме (он должен запомнить все эти суммы для себя). Теперь волшебница повернулась и небрежно сообщила результат, хотя и не знала, какие кости выбрал зритель.
В чем секрет? Предположим, что на этих костях выпали числа a, b и c, и идея выбирает кубик a. Исходная сумма равна a+b+c, и добавление 7-a к этой сумме дает b+c+7. Затем снова бросьте кубик a и получите d, так что окончательный результат будет d+b+c+7. Затем фокусник смотрит на три кубика, и сумма очков на стороне, обращенной вверх, равна d+b+c, поэтому фокуснику нужно только быстро сложить три числа и прибавить 7, и все готово.
Генри Эрнест Дуден, британский эксперт по головоломкам, в своей книге (Fun Math) представляет другой трюк. Фокусник все же обернулся и попросил зрителя бросить кости. Но теперь она просит обманутого умножить число первого кубика на 2 и прибавить 5, результат умножить на 5, прибавить число второго кубика, а затем умножить результат на 10, и, наконец, прибавить число с третьего умереть. Узнав результат, фокусник немедленно сообщил количество очков, выпавших на трех костях. Естественно, конечный результат, полученный зрителями, равен 10(5(2a+5)+b)+c, то есть 100a+10b+c+250. Таким образом, фокуснику нужно только вычесть из этого результата 250, а три оставшихся трехзначных числа — это очки, выпавшие на трех костях. Другие проблемы с костями связаны с модифицированными костями с нестандартным рангом. Например, может ли читатель придумать способ присвоить очки паре игральных костей, используя только числа 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6, чтобы сумма очков после броска пары была равна? возможные сценарии (от 1 до 12) равновероятны (ответ в конце статьи)? Возможно, самым неинтуитивным феноменом игры в кости является так называемая «недоставляемая игра в кости». Сделайте 3 кубика A, B, C, и очки на каждой стороне будут следующими:
А: 334488 Б: 115599 С: 226677
После многих бросков кубик B в среднем превосходит кубик A. На самом деле существует вероятность 5/9 того, что на кубике B выпадет больше очков, чем на кубике A. Точно так же существует вероятность 5/9 того, что на кубике C выпадет больше очков, чем на кубике B. Таким образом, в среднем бросок C должен быть больше, чем бросок A, верно? Нет, как раз наоборот, вероятность того, что на кубике А выпадет больше очков, чем на кубике С, составляет 5/9. Прилагаемые рисунки иллюстрируют причины вышеизложенного утверждения. Вы можете заработать много денег с этим набором костей! Позвольте вашему азартному противнику выбрать любые кости, а затем вы выбираете кости, которые могут его сокрушить (после многих бросков вероятность того, что ваши кости превзойдут кости противника, больше 1/2) и повторяете игру. Вы выиграете 55,55% всех ставок. Но ваш оппонент волен выбирать «лучшие» кости, которые он считает!
